Сплайны, т. е. гладкие кусочно-полиномиальные функции, являются весьма удобным аппаратом для решения ряда задач вычислительной математики. В книге излагаются основные свойства сплайнов и приложения сплайнов к задачам приближения функций, восстановления функций по неполной информации, сглаживания экспериментальных данных, численного дифференцирования функций, а также приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений. Основное внимание уделено численным аспектам применения сплайнов.
Книга рассчитана на широкий круг математиков и инженеров, использующих вычислительную математику в прикладных расчетах.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................... .. 5
Глава I. Постановка задач и вспомогательные результаты.................. 7
§ 1. Постановка задач. Функциональные пространства и классы функций.......... 7
§ 2. Определение и различные формы представления сплайнов............... 13
§ 3. Сводка вспомогательных результатов... 24
Вспомогательная литература............ 32
Глава II. Параболические и кубические сплайны... 33
§ 1. Определение и вычисление интерполяционных параболических сплайнов одной переменной................... 33
§ 2. Представление через В-сплайны...... 45
§ 3. Сходимость и порядки приближения.... 55
§ 4. Кубические сплайны........... 83
§ 5. Многомерные параболические сплайны... 95
Глава III. Сплайны с равномерными узлами.... 119
§ 1. Необходимое условие сходимости..... 119
§ 2. Единственность интерполяционного сплайна
с ограниченной п-ш производной...... 121
§ 3. Интерполяционные сплайны с равномерными
узлами на конечном отрезке........ 130
§ 4. Многомерные сплайны на равномерной прямоугольной сетке............. 140
Глава IV. Эрмитовы сплайны и нелинейные приближения.................. 144
§ 1. Одномерные эрмитовы сплайны...... 144
§ 2. Двумерные эрмитовы сплайны....... 157
§ 3. Нелинейная аппроксимация........ 160
Глава V. Сглаживание.............. 168
§ 1. Постановка задач............. 168
§ 2. Построение сглаживающих сплайнов..... 173
§ 3. Сглаживание функций двух переменных... 181
§ 4. Среднеквадратичное приближение..... 183
§ 5. Наилучшее равномерное приближение сплайнами.................. 188
Глава VI. Применение сплайнов в численном анализе 195
§ 1. Численное интегрирование и дифференцирование............. ..... 195
§ 2. Приближение неявных функций...... 209
§ 3. Численное решение интегральных уравнений 212
§ 4. Решение краевых задач.......... 218
§ 5. Численное решение задачи Коши..... 228
Комментарии................. ... 235
Литература.................. .. 238
