Дается систематическое изложение современного состояния, а также основных идей и методов одного из древнейших разделов математики --- теории диофантовых уравнений. Основное внимание уделено рассмотрению наиболее изученного к настоящему времени случая --- уравнений с двумя неизвестными. Изложение иллюстрируется большим числом конкретных примеров.
Для специалистов по теории чисел, алгебраической геометрии, математической логике и дискретной математике, а также для аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся в указанных областях.
Оглавление
Предисловие
Введение
Глава I. Уравнения над конечными полями
§ 1. Сравнения
1. Основные понятия (13). 2. Сравнения по простому модулю (15). 3. Алгебраические сравнения (15)
Задачи
§ 2. Сравнения по двойному модулю и конечные поля
1. Кольцо Fp [х] (24). 2. Количество неприводимых в Fp [х] многочленов степени п (26). 3. Алгебраическая структура конечных полей (28). 4. Автоморфизмы конечного поля Fq (29). 5. Единственность поля Fq (33)
Задачи
§ 3. Л-функции Артина
1. Характеры конечных абелевых групп (37). 2. Характеры поля
Fq (40). 3., Производящая функция Артина (41)
Задачи
§ 4. Суперэллиптическое уравнение и уравнение Артина --- Шрейера
1. Суперэллиптическое уравнение и суммы характеров (51). 2. Число -рациональных точек па кривой f(x, у) = 0 (53). 3. Оценка сумм характеров с многочленом (56)
Задачи
Глава II. Распределение квадратичных вычетов и невычетов
§ 1. Результаты И. М. Виноградова и Д. Берджесса. 1. Теорема Виноградова --- Полиа (67). 2. Гипотезы И. М. Виноградова (69). 3. Теорема Берджесса (71)
Задачи
§ 2. Большое решето и его применение к задаче о наименьшем
квадратичном невычете
1. Большое решето (82). 2. Исключительные простые числа (87). 3. Теорема Линника (88)
Задачи
Исторические комментарии к Главам I и II
Глава III. Рациональные точки на алгебраических кривых
§ 1. Рациональные кривые
1. Плоские алгебраические кривые (101). 2. Параметризация кривых (102). 3. Алгебраические кривые второй степени (104). 4. Алгебраические кривые степени ns* 3 (108)
Задачи
§ 2. Эллиптические кривые
1. Бирациональный изоморфизм кривых (113). 2. Сложение точек на эллиптических кривых (115). 3. Теорема Морделла (117)., 4. Ранг эллиптической кривой (122)
Задачи
Глава IV. Теорема Римана --- Роха
§ 1. Аффинные и проективные многообразия
1. Аффинные алгебраические множества (130). 2. Регулярные отображения (132). 3. Рациональные функции на алгебраическом многообразии (134). 4. Проективные и квазипроективные многообразия (136). 5. Неособые алгебраические многообразия (140)
Задачи.
§ 2. Дивизоры на алгеораических кривых
1. Локальное кольцо точки (146). 2. Нормирования (147)., 3. Дивизоры (155)
Задачи
§ 3. Теорема Римана --- Роха па алгебраической кривой
1. Теорема Римана (164). 2. Распределения (167). 3. Дифференциалы (170). 4. Канонический класс (175)
Задачи
Глава V. Гипотеза Римана для конгруенц-дзета-функцпи
§ 1. Дзета-функ
)
отличное;
В продаже с 22.09.2014
